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jun 3

Previsão do número de faces de um Fulereno através da relação de Euler

 

 

    Os Fulerenos são compostos muito conhecidos, sendo uma forma alotrópica do Carbono, que apresenta propriedades especiais, graças ao seu tamanho, estrutura e geometria. Foram descobertos por Harold Walter Kroto e Richard Erret Smalley em 1985.

      Os Fulerenos são representados por Cn, onde n é o número de átomos de Carbono que compõe a molécula. Por exemplo, C60 possui 60 átomos de carbono.

 

Figura 1. Molécula de C60

 

    Os Fulerenos e a geometria de Euler

    Uma molécula de fulereno é um poliedro de átomos de carbono nos vértices, formado somente por faces pentagonais e hexagonais.  No século 18, um matemático suíço chamado Leonhard Euler, estudando as relações entre o número de arestas (A), vértices (V) e faces (F) de poliedros, chegou a uma interessante conclusão, sumarizada pela seguinte expressão:

 

  F + V = A + 2 (Equação a.)

 

    Para um cubo, por exemplo, temos 6 faces, oito vértices, portanto, podemos calcular o número de arestas: 6 + 8 = A + 2, onde descobrimos que A = 12 (Fato facilmente comprovado ao se observar um cubo).

   No caso dos fulerenos, cada átomo de Carbono ocupa um vértice e está ligado a três outros, através de ligações  sigma e pí. O número de vértices, portanto, é igual a 1/3 do número de arestas, ou seja:

V = 2/3A (Equação b.)

 

    Substituindo-se esta relação na equação anterior, tem-se que:

F = 1/3A + 2 (Equação c.)

    O número de faces numa molécula fulerênica é representado pela expressão abaixo, onde P são as faces Pentagonais e H sõ as faces Hexagonais:

F = P + H (Equação d.)

 

    O número de arestas (Ligações), por sua vez, é dado pela expressão:

 

A = 1/2(5P + 6H) (Equação e.)

 

  Repare que o “2” no denominador corrige um problema na contagem: como cada aresta é compartilhada entre duas faces, contamos cada aresta duas vezes, devendo o resultado final, portanto, ser dividido por 2.

    Substituindo-se as equações d. e e. na equação c., encontra-se simplesmente o número de pentágonos numa molécula fulerênica:

P = 12

 

    Isto significa que a lei de Euler não impõe qualquer restrição quanto ao número de hexágonos nas moléculas fulerênicas, mas que, entretanto, elas devem apresentar sempre 12 pentágonos! É intrigante que um cálculo matemático tão simples possa prever a estrutura de algo tão pequeno!

   Usando as relações acima, é possível deduzir que o C540 possui 810 arestas e 272 faces (260 hexagonais e 12 pentagonais).

    No caso do C60, o Fulereno mais famoso, cada pentágono está rodeado por um colar de cinco

hexágonos. Se o número desses colares ao redor de cada pentágono for aumentado para 2, 3 ou mais, obtém-se uma família de fulerenos gigantes que começa com C240 e C540 (A família é dada por C60n2, onde n = 1, 2, 3 etc.). Essas moléculas tornam-se menos esféricas à medida que aumentam o tamanho.

    Ainda falando do Fulereno mais famoso, o C60, que possui 60 átomos (V = 60), sabendo o número de ligações (A = 90), é fácil calcular o número de faces (F = 32, sendo 12 Pentagonais e 20 Hexagonais). Deixamos como desafio ao leitor executar esse cálculo utilizando as expressões fornecidas nessa matéria.

    Quer uma prova prática dos números citados no parágrafo anterior? Construa um modelo de Fulereno C60 em papel e conte os vértices, arestas e faces! Para aprender como construir o modelo, clique aqui e leia essa prática do Olhar Nano!

      Divirta-se!

 

 

Olhar Nano